【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【资料图】

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。  

第十二章曲线运动，转动

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】

§12-5向心力和向心加速度

【01】我们知道，物体只有在受到与速度方向成角度的外力作用时才作曲线运动。匀速圆周运动也是一种曲线运动，但外力和速度究竟应该成多大的角度呢？我们现在就要分别根据经验和从理论上来讨论这个问题。

【02】用细绳拴住一个小球，使它在水平面上作匀速圆周运动（图12·18），我们就会感觉到手在拉紧绳子，也就是有一个沿绳子方向的力作用在小球上。绳子的方向就是半径的方向，所以我们说：要使小球作匀速圆周运动，就得有一个沿着半径、指向圆心的力作用在小球上。这个力叫做向心力。

【03】让我们再用斜抛运动为例，从理论上来进行分析。如图12·19所示，斜抛运动可以分为两个阶段来考虑，从 O 到 A 是速度逐渐减小的阶段。在这一阶段中，它所受到的重力 F 总是和速度 v 成钝角。从 A 到 B 是速度逐渐增加的阶段。在这一阶段中，它所受到的重力 F 总是和速度 v 成锐角。用其他曲线运动来分析，也可以得到相同的结果。也就是当运动物体受到的作用力与速度方向成锐角时（即小于直角时），物体的速度增大；成钝角时（即大于直角时），速度减小。

【04】物体在作匀速圆周运动时，速度的大小不变，方向却时刻在变化着。速度的大小不变，表明运动物体所受到的作用力既不应和速度方向成锐角，又不应和速度方向成钝角，而只能成直角。所以我们说：要使物体作匀速圆周运动，就得有一个与速度方向总是成直角的力作用在物体上（图12·20）。

【05】作匀速圆周运动的物体，在圆周上任何一点的速度方向，就是该点的切线方向，因而它受到的作用力的方向，按照几何学知识，一定是沿着半径指向圆心。这种作用在物体上的力就是我们在上面已经提到的向心力。

【06】根据牛顿第二运动定律，这个向心力要使物体产生沿着力的方向的加速度，即指向圆心的加速度。所以，作匀速圆周运动的物体，具有沿着半径指向圆心的加速度。这种加速度就叫做向心加速度。

【07】现在我们来研究向心加速度的大小与哪些因素有关。

【08】如图12·21所示，设作匀速圆周运动的物体以速度 v 在时间 t 内从 D 点运动到 E 点。如果所取的时间 t 很短，则 DE 弧可以认为是与 DE 弦重合（图中已放大），所以 DE＝vt  。

【09】如果没有向心力的作用，则物体由于惯性将沿切线 DK 的方向运动而在时间 t 内到达 K 点。但实际上，运动物体在时间 t 内到达了 B 点，这表明运动物体在向心力的作用下，在时间 t 内从 K 匀加速地离开了切线而通过一定的距离 KE(＝DF)，用 a 来代表加速度，则因为 DF＝KE，所以。

【10】再利用平面几何知识，△DEF～△DCE，所以，即  。

【11】用DE＝vt，DF＝1/2at²，DC＝2R（R是圆的半径）代入上式，得。这就是向心加速度的公式。

【12】由此可见，当质点作匀速圆周运动时，向心加速度的大小不变，等于线速度的平方被圆半径除所得的商；它的方向时刻在变化着，每一时刻都垂直于速度的方向，沿着半径指向圆心。

例7.一只大电钟的秒针长20厘米，求(1)针尖的线速度，(2)针尖的向心加速度。

【解】

(1)。 

(2)。

例8.上海市的位置在北纬31°，求上海市由于地球自转的线速度和向心加速度。设地球的半径为6400公里。

【解】R＝6400cos31°＝6400×0.857公里。

。

。

习题12-5

1、火车在半径等于200米的铁轨转弯处用36公里/小时的速度驶行，求向心加速度。【0.5米/秒²】

2、一个轮子的直径是80厘米，每分钟转3000次。求轮周上任意一点的向心加速度和线速度。【约39480米/秒²，约125米/秒】

3、大小两轮互相紧压，通过两轮之间的摩擦力来传动（无滑动）。如果小轮半径长10厘米，大轮边缘上一点的线速度是0.2米/秒时，求小轮边缘上一点的向心加速度。【40厘米/秒²】

4、一个人造地球卫星的速度为7.6公里/秒，如果把它的运动近似地看作是匀速圆周运动，求它绕地球运动时的向心加速度。设地球卫星离地面的高度为500公里。【约8.37米/秒²】

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